Le Roadster SpaceX peut-il sauter, voler, rouler ? Le calcul complet.

Mouvement. La voiture est un point de masse variable. Position \((x,y)\), vitesse \((v_x,v_y)\), masse \(m\) :

$$\frac{dx}{dt}=v_x,\quad \frac{dy}{dt}=v_y,\quad \frac{dv_x}{dt}=\frac{F_x}{m},\quad \frac{dv_y}{dt}=\frac{F_y}{m}-g,\quad \frac{dm}{dt}=-\dot m$$

Intégration Runge-Kutta d'ordre 4, pas de 2 ms pendant la poussée. Sur route plate, le décollage n'a lieu que si \(F_y \ge m g\). Sur rampe de pente \(p\) : \(\theta=\arctan(p)\), \(v_{x0}=v_0\cos\theta\), \(v_{y0}=v_0\sin\theta\).

Réservoir. La masse stockée vient de l'équation d'état avec facteur de compressibilité \(Z\) (air, 293 K) : \(m_0 = \dfrac{P_0 V}{Z(P_0)\,R\,T_0}\) avec \(R=287{,}05\) J/(kg·K). La vidange en moins d'une seconde est adiabatique : l'entropie du gaz restant est constante, ce qui donne la pression et la température du réservoir en fonction de la fraction de masse restante \(f=m/m_0\). Ces courbes \(P(f)\), \(T(f)\) sont tabulées depuis une équation d'état de référence (Lemmon et coll. pour l'air) et interpolées.

Poussée. Pour une tuyère à col fixe amorcée, la poussée est proportionnelle à la pression d'alimentation : \(F=C_F A_t P_a\). Avec un détendeur réglé à \(P_{reg}\) : \(P_a=\min(P_{tank},P_{reg})\), donc

$$F(t)=F_0\cdot\min\!\left(1,\frac{P_{tank}(t)}{P_{reg}}\right)$$

Une tuyère à col variable maintient \(F_0\) tant que \(P_{tank}\) dépasse un plancher (60 bar). Seules les tuyères de portance sont allumées pendant le saut ; le débit massique est \(\dot m = F_y/V_e\), avec une vitesse d'éjection qui suit le refroidissement du gaz : \(V_e = I_{sp}\,g\sqrt{T_{tank}/T_0}\).

Atterrissage. En descente, le freinage commence à la hauteur \(h_f=\dfrac{v_y^2-v_t^2}{2a}\) avec \(a=F_y/m-g\) et \(v_t=3\) m/s la vitesse de toucher visée (le simulateur applique une marge de 1/0,6 parce que la poussée baisse pendant le freinage). Au sol, la suspension (course 0,15 m) encaisse \(\bar F = \dfrac{m v_t^2}{2 s}\).

Franchissement. La longueur de la voiture (4,4 m) est prise en compte : l'avant et l'arrière, à la hauteur du dessous de caisse, doivent passer au-dessus de chaque obstacle tout au long de la trajectoire, pas seulement au sommet.

Bilan d'énergie. Deux contrôles tournent à chaque calcul : le travail \(\int F\cdot v\,dt\) corrigé du terme de masse éjectée doit égaler la variation d'énergie mécanique de la voiture ; et la voiture ne peut pas recevoir plus d'énergie que le jet n'en contient, \(\tfrac12 m_{gaz}V_e^2\).

Masse stockée. \(m=\dfrac{PV}{Z(P,T)\,R\,T}\). Le facteur \(Z\) vient d'une équation d'état de référence (Lemmon, Jacobsen, Penoncello et Friend, 2000, pour l'air ; Span et coll. pour l'azote). À 690 bar et 293 K : \(Z_{air}=1{,}544\), \(Z_{N_2}=1{,}603\). L'équation de Redlich-Kwong utilisée dans l'ancienne version de cette page donnait 1,463, soit 5,6 % d'écart sur la masse.

Pression réelle si 250 kg dans 600 L. Masse volumique \(\rho=250/0{,}6=417\) kg/m³ ; on inverse l'équation d'état : \(P=437\) bar (6 330 psi).

Vidange adiabatique. En moins d'une seconde, le gaz n'échange pas de chaleur avec la paroi. Le gaz qui reste dans le réservoir subit une détente isentropique : \(s(\rho,T)=s_0\). Pour un gaz parfait cela donne \(T/T_0=(\rho/\rho_0)^{\gamma-1}\) et \(P/P_0=(\rho/\rho_0)^{\gamma}\) avec \(\gamma=7/5\). Les valeurs du graphique viennent de l'équation d'état réelle, qui s'écarte de la loi parfaite de 10 à 15 % à ces pressions.

Énergie récupérable (exergie). Le travail maximal que peut fournir le gaz en revenant à l'ambiante : \(E_x=m\left[(h-h_0)-T_0(s-s_0)\right]\). Contrôle par la formule isotherme du gaz parfait, \(E_x\approx mRT_0\ln(P/P_0)=48{,}6\) kWh, à 3,6 % du calcul en gaz réel.

Énergie d'éclatement. Détente isentropique du gaz jusqu'à 1 atm : \(E_b=m\,(u-u_e)\) avec \(u\) l'énergie interne. L'équivalent TNT utilise 4,184 MJ/kg. Un éclatement pneumatique restitue environ 40 % de cette énergie en onde de choc (section 13).

Masse des réservoirs. Pour les réservoirs composites bobinés en carbone (type IV), la masse est proportionnelle au produit pression × volume : \(m_{res}\approx \dfrac{PV}{100\text{ à }115\text{ kJ/kg}}\), valeurs issues des réservoirs d'hydrogène automobiles à 700 bar.

Une loi utile. Avec \(PV=Z\,m_{gaz}RT\) et \(m_{res}=PV/k\) : \(\dfrac{m_{res}}{m_{gaz}}=\dfrac{Z\,R\,T_0}{k}=0{,}785\,Z\). À 690 bar (\(Z=1{,}54\)) le réservoir pèse 1,21 fois le gaz ; à 440 bar (\(Z=1{,}25\)) 0,98 fois. L'impulsion par kilo de système complet passe de 0,25 à 0,28 kN·s/kg (vitesse d'éjection effective 549 m/s).

Pour un gaz de rapport de capacités thermiques \(\gamma=1{,}4\) et un col amorcé (pression amont au moins 1,9 fois la pression aval), le débit ne dépend que de la pression et de la température d'alimentation :

$$\dot m = \frac{A_t P_a}{\sqrt{R T_a}}\;\sqrt{\gamma}\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} = 0{,}6847\,\frac{A_t P_a}{\sqrt{R T_a}}$$

La poussée s'écrit \(F=C_F A_t P_a\). Pour une détente idéale jusqu'à la pression ambiante \(P_e=P_{amb}\) :

$$C_F=\sqrt{\frac{2\gamma^2}{\gamma-1}\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\left[1-\left(\frac{P_e}{P_a}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right]}$$

Mach de sortie : \(\dfrac{P_a}{P_e}=\left(1+\dfrac{\gamma-1}{2}M_e^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}\) ; température de sortie : \(T_e=\dfrac{T_a}{1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^2}\). L'air se liquéfie vers 80 K à 1 bar, ce qui borne \(M_e\) à environ 3,65. Vitesse d'éjection effective avec terme de pression : \(V_e=\dfrac{F}{\dot m}=u_e+\dfrac{(P_e-P_{amb})A_e}{\dot m}\).

À chaque instant, débit \(\dot m = F/V_e\) et \(F = F_0\,P_{tank}/P_0\) (col fixe, amorcé). Pour un gaz parfait, la masse volumique \(\rho\) du réservoir suit \(\dot\rho = -\dot m/V\) et la pression \(P=P_0(\rho/\rho_0)^{\gamma}\). En combinant, la vidange isentropique d'un réservoir par un col amorcé donne une loi fermée :

$$\frac{P(t)}{P_0}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\,\frac{t}{\tau}\right)^{-\frac{2\gamma}{\gamma-1}}=\left(1+\frac{t}{5\tau}\right)^{-7}\qquad \tau=\frac{V}{A_t\,\Gamma\,\sqrt{R T_0}}$$

avec \(\Gamma=0{,}6847\). Pour le Thrust, \(\tau\approx0{,}94\) s ; pour le Rocket, \(\tau\approx2{,}8\) s. Les valeurs du tableau utilisent l'équation d'état réelle plutôt que la loi parfaite, ce qui raccourcit légèrement les temps.

L'impulsion totale est \(\int_0^\infty F\,dt\). La « poussée moyenne sur 5 s » est cette impulsion divisée par 5 s. Contrôle simple : 106 kg éjectés à 549 m/s font 58 kN·s au total ; une tuyère fixe n'en exploite que 37 parce que la fin de vidange se fait à basse pression et basse température.

Pour tenir 0,59 s avec une tuyère fixe, il faudrait 117 kN au départ. Masse maximale du Thrust pour rester sous 0,9 s en vidange réelle : 1 905 kg.

Force de traction disponible à la roue, limitée par l'adhérence, la puissance et le couple :

$$F_{roue}=\min\Big(\mu\,(mg+D),\;\frac{\eta P_{max}}{v},\;F_{cap}\Big)$$

avec \(\mu=1{,}26\) (coefficient d'adhérence déduit de l'annonce Tesla « 1,26 g sur les pneus »), \(D=46{,}1\) kN d'appui par aspiration, \(\eta=0{,}92\), \(P_{max}=1\) MW. \(F_{cap}=28{,}5\) kN est obtenu en inversant les 1,6 s annoncés. Équation du mouvement : \(m\,\dot v = F_{roue}+F_{tuyères}(t)\), intégrée jusqu'à \(v=26{,}82\) m/s. La poussée des tuyères suit la section 5.

Contrôle du couple : \(F=\dfrac{C\cdot i}{r}=\dfrac{1\,302\times 9}{0{,}35}=33{,}5\) kN pour un rapport de réduction de 9 et un rayon de roue de 0,35 m ; l'ordre de grandeur concorde avec les 28,5 kN inversés.

Le simulateur montre qu'avec une tuyère fixe derrière un détendeur à 380 bar, la pression restante après la montée ne suffit plus à freiner une voiture de 2 475 kg : la poussée verticale retombe sous le poids. Pour atterrir comme lors de la démo, il faut soit une tuyère à col variable, soit une réserve de pression dédiée au freinage, soit une voiture plus légère. Un saut complet (montée + freinage) consomme 100 à 130 kg de gaz selon la masse, soit un tiers à la moitié d'un plein.

Hauteur atteinte après la poussée : \(H=y_1+\dfrac{v_{y1}^2}{2g}\) où \(y_1\), \(v_{y1}\) sont la hauteur et la vitesse verticale à la fin de la poussée (intégrées, section 1). Pour une poussée constante \(F_v\) sur une durée \(T\) et une masse constante : \(v_{y1}=(F_v/m-g)T\), \(y_1=\tfrac12(F_v/m-g)T^2\).

Chute libre : \(v_{imp}=\sqrt{2gH}\). Freinage à poussée \(F_v\) : décélération \(a=F_v/m-g\), hauteur de déclenchement \(h_f=\dfrac{v_{imp}^2-v_t^2}{2a}\), durée \(\dfrac{v_{imp}-v_t}{a}\), gaz \(\dfrac{m(v_{imp}-v_t)}{V_e}\). Suspension : \(\bar F=\dfrac{m v_t^2}{2s}\) avec \(s=0{,}15\) m.

Flexion du châssis à l'atterrissage, en traitant les réservoirs (700 kg) comme une charge au milieu de l'empattement \(L_e=2{,}7\) m posé sur deux appuis : \(M=\dfrac{m_{res}\,a\,L_e}{4}=15\) kN·m à 3,2 g, 23 kN·m à 5 g. Module de section minimal à 300 MPa avec un coefficient de sécurité 1,5 : 74 à 116 cm³. Une coque carbone l'encaisse ; ce n'est pas le point dur.

Inertie d'un parallélépipède homogène de masse \(m_c\) : \(I_{roulis}=\dfrac{m_c(W^2+H^2)}{12}\), \(I_{tangage}=\dfrac{m_c(L^2+H^2)}{12}\), \(I_{lacet}=\dfrac{m_c(L^2+W^2)}{12}\), auxquels on ajoute les réservoirs (cylindre de rayon 0,35 m pour le roulis, masse ponctuelle à 0,8 m pour le tangage et le lacet). Dimensions 4,4 × 1,9 × 1,1 m, caisse 1 700 kg, réservoirs 700 kg.

Pour tourner d'un angle \(\theta\) en une durée \(\Delta t\) à vitesse constante : \(\omega=\theta/\Delta t\), moment cinétique \(L=I\omega\), impulsion d'une tuyère de bras \(r\) : \(J=L/r\), une fois pour lancer, une fois pour arrêter. Gaz : \(2J/V_e\). Erreur d'assiette : \(\delta\theta=\theta\cdot\delta J/J\) ; retard de vanne : \(\delta\theta=\omega\,\delta t\).

Poussée = poids : \(\dot m\,V_e=mg\) avec \(V_e=I_{sp}g\), donc \(\dot m = m/I_{sp}\) et

$$m(t)=m_0\,e^{-t/I_{sp}}\qquad t_{max}=I_{sp}\ln\frac{m_0}{m_0-m_{gaz}}$$

Fraction de gaz nécessaire pour une durée \(T\) : \(1-e^{-T/I_{sp}}\). Sustentation par rotors (théorie de la quantité de mouvement) : puissance induite \(P=\dfrac{1}{\mathrm{FM}}\sqrt{\dfrac{(mg)^3}{2\rho A}}\) avec une figure de mérite \(\mathrm{FM}=0{,}7\) et \(\rho=1{,}2\) kg/m³.

Dépression : \(\Delta P = D/A_{eff}\). Vitesse d'entrée d'air sous la jupe : \(u=\sqrt{2\Delta P/\rho}=107\) m/s. Débit que les ventilateurs peuvent extraire : \(Q=\eta_f P_{fan}/\Delta P\). Jeu équivalent : \(e=\dfrac{Q}{C_d\,u\,L_{per}}\) avec \(C_d=0{,}6\). Accélération latérale maximale : \(a_y=\mu\,\dfrac{mg+D}{m}\). Rouler au plafond exige \(D>mg\).

À 370 km/h, la bande de roulement du pneu subit 3 000 g d'accélération centrifuge (2 800 tr/min) : il faut des pneus de catégorie spéciale, et un aileron de 1,2 m² y produit 11 kN d'appui pour 78 kW de traînée.

Consommation par kilomètre à vitesse constante \(v\) :

$$e(v)=\frac{\tfrac12\rho\,C_dA\,v^2 + C_{rr}\,m\,g}{\eta}+\frac{P_{aux}+P_{fan}}{v}$$

avec \(\rho=1{,}2\) kg/m³, \(C_dA=0{,}55\) m² (hypothèse, Tesla n'a pas publié le coefficient), \(C_{rr}=0{,}010\), \(\eta=0{,}88\), \(P_{aux}=400\) W. Autonomie : \(E_{utile}/e(v)\) avec 95 % de la capacité nominale utilisable. Vitesse maximale : \(P_{roues}=\dfrac{\tfrac12\rho C_dA v^3 + C_{rr}mgv}{0{,}9}\). Pression dynamique à 370 km/h : \(q=\tfrac12\rho v^2=6{,}3\) kPa. Accélération centrifuge de la bande de roulement : \(\omega^2 r\) avec \(\omega=v/r\).

La recharge à 500 kW de 15 à 80 % de 150 kWh prend 11,7 minutes, compatible avec les « moins de 15 minutes » annoncées. L'annonce de 1 MW est tenable à condition d'un pack de 150 kWh et de cellules à faible résistance.

Nombre de cellules : \(n=E/97\) Wh (cellule 4680). Architecture : \(n_s=243\) en série pour 900 V (3,7 V par cellule), \(n_p=n/n_s\) en parallèle. Résistance du pack : \(R=\dfrac{n_s R_{cell}}{n_p}\). Chaleur : \(Q=I^2R\) avec \(I=P/U\). Échauffement adiabatique : \(\Delta T=\dfrac{Q\,t}{m_{cell}\,c_p}\) avec 355 g et 900 J/(kg·K) par cellule. La chaleur à puissance partielle varie comme le carré de la puissance : \(Q(P)=Q_{1MW}(P/1\,\mathrm{MW})^2\).

Onde de choc. Équivalent TNT \(W=0{,}4\,E_b/4{,}184\) MJ (un éclatement pneumatique restitue environ 40 % de l'énergie isentropique en onde de pression). Distances par la loi d'échelle de Hopkinson : \(R=Z\,W^{1/3}\), avec \(Z\approx3{,}5\) m/kg^{1/3} pour 5 psi et 18 pour 1 psi (abaques de Kingery et Bulmash).

Bruit. Puissance mécanique du jet \(P_j=\tfrac12 F V_e\). Puissance acoustique \(P_a=\eta_a P_j\) avec \(\eta_a=0{,}2\) à 1 % pour un jet supersonique froid. Niveau de puissance \(L_w=10\log_{10}(P_a/10^{-12})\) ; niveau à la distance \(r\) : \(L_p=L_w-20\log_{10}r-8\).

Souffle. Vitesse sur l'axe d'un jet turbulent libre loin de la buse : \(u(x)\approx 7\,\dfrac{\sqrt{F/\rho}}{x}\), où \(F\) est la poussée de la tuyère.

Énergie de recharge : \(E=E_x/\eta_c\) où \(E_x=50{,}4\) kWh est l'exergie du gaz (section 3). Temps : \(E/P_{comp}\). Rendement propulsif instantané d'une tuyère sur un mobile de vitesse \(v\) : \(\eta_p=\dfrac{2v/V_e}{1+(v/V_e)^2}\) ; intégré sur le 0-60 (6,5 m, 0,45 s, travail 520 kJ pour 65 kg de gaz) il vaut 5,3 %. Coût électrique équivalent : \(W/0{,}9\).

• Stockage entre 400 et 500 bar, pas 690 : la masse de réservoir par kilo de gaz impose la pression la plus basse compatible avec le volume (piste 6).
• Poussée régulée et constante sur la version Rocket (détendeur ou col variable), sinon le 0,59 s n'est pas reproductible (section 6).
• Réserve de gaz verrouillée pour l'atterrissage, 40 à 75 kg, invisible pour le conducteur (section 7).
• Durée de vol présentée comme « saut » : le plafond physique de 6 à 8 s ne bougera pas sans changer de fluide (section 9, piste 4).
• Recharge en station par cascade de banques pré-comprimées, 3 à 12 minutes, avec gaz pré-refroidi pour compenser les +117 K de l'échauffement de remplissage ; jamais par compresseur embarqué (section 14).
• 1 MW en pointe, 10 à 30 s, pack de 150 kWh (piste 8).
• Ventilateurs pilotés par le mode de conduite, coupés sur route pour tenir les 300 miles (sections 10 et 11).
• Propulseurs verrouillés hors circuit par géolocalisation : bruit et souffle incompatibles avec la route (section 13).

Ces prédictions découlent des équations de cette page sous les hypothèses de la section 15. Elles seront vérifiables à la publication des fiches techniques.